Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Get Adobe Flash player

ΣΥΛΛΟΓΟΣ ΑΠΟΦΟΙΤΩΝ ΖΩΣΙΜΑΙΑΣ ΣΧΟΛΗΣ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ
Πυθαγόρας ο Σάμιος - Πυθαγόρειο Θεώρημα
 

Ευάγγελος Κοντοσάκος, Μαθηματικός, Απόφοιτος Ζωσιμαίας Σχολής



Α. Πυθαγόρας

Ο Πυθαγόρας υπήρξε ένας από τους σημαντικότερους φιλοσόφους (συγκαταλέγεται μεταξύ των επτά σοφών) και μαθηματικούς της αρχαιότητας.
Έζησε τον 6ο π.Χ. αιώνα. Οι ακριβείς χρονολογίες της γέννησης και του θανάτου του δεν είναι γνωστές.
Γενικά υπάρχει ασάφεια ως προς τη ζωή και τη δράση του Πυθαγόρα, η οποία ίσως να οφείλεται κατά ένα μέρος και στον μυστικισμό που επικρατούσε στην σχολή του.
Γεννήθηκε μάλλον στη Σάμο μεταξύ των ετών 580 και 570 π.Χ. και η ζωή του τελείωσε στο Μεταπόντιο της νότιας Ιταλίας γύρω στο 500 - 490 π.Χ. κάτω από συνθήκες που δεν είναι γνωστές.
Ίσως να υπήρξε μαθητής του φιλοσόφου Φερεκύδη στη Λέσβο αλλά πιο ισχυρή είναι η πιθανότητα να παρακολούθησε την διδασκαλία του Θαλή και του Αναξίμανδρου στη Μίλητο.
Αφού ταξίδεψε για πολλά χρόνια στην Αίγυπτο, στην Ινδία και στη Βαβυλώνα, όπου είχε την ευκαιρία να μυηθεί στον τρόπο λειτουργίας των ιερατείων τους αλλά και στην φιλοσοφία τους, επέστρεψε στη Σάμο σε ηλικία άνω των πενήντα, όπου ίδρυσε σχολή. (Το σημερινό Πυθαγόρειο).
Συγκρούστηκε όμως με τον τύραννο της Σάμου Πολυκράτη, ο οποίος απ' ότι φαίνεται είχε επιβάλει ένα - βολικό για τον ίδιο - "θεοκρατικό" καθεστώς απαγορεύοντας κάθε έρευνα που έρχονταν σε αντίθεση με τη θρησκεία του "Δωδεκάθεου". Κατ' άλλους η σύγκρουση των δυο ανδρών και η μετεγκατάσταση του Πυθαγόρα στον Κρότωνα της κάτω Ιταλίας είχε πολιτικά αίτια.
Όποια και να ήταν η αιτία πάντως, εκείνο που επιβεβαιώνεται είναι, ότι οι άνθρωποι του πνεύματος πάντοτε βρίσκονταν σε αντίθεση με τους ανθρώπους της εξουσίας.
Στον Κρότωνα ο Πυθαγόρας έτυχε θερμότατης υποδοχής και η Σύγκλητος της πόλης του παραχώρησε μια έκταση στην οποία κτίστηκε "ο ναός των Μουσών", ένα μεγαλοπρεπές οικοδόμημα στο οποίο στεγάστηκε η νέα σχολή που ίδρυσε ο Πυθαγόρας.
Αυτή η Πυθαγόρεια Σχολή ήταν ταυτόχρονα κέντρο έρευνας και διδασκαλίας (κάτι σαν πανεπιστήμιο) αλλά και μια πολιτικοθρησκευτική οργάνωση στην οποία οι μαθητές γίνονταν δεκτοί ύστερα από αυστηρότατες εξετάσεις. Διακρίνονταν σε "ακουσματικούς" που είχαν ακούσει απλά τις μαθηματικές προτάσεις και "μαθηματικούς" που είχαν εντρυφήσει στις αποδείξεις τους. Λέγεται ότι στην είσοδο της Σχολής υπήρχε η επιγραφή "Εκάς οι βέβηλοι". Πρόκειται για εντολή δανεισμένη από τα Ελευσίνια μυστήρια και σημαίνει μακρυά οι μιαροί, οι ακάθαρτοι. Ίσως με την λέξη βέβηλοι να εννοεί τους αμαθείς, τους αμύητους, τους "μη κοινωνούς" των μυστικών της Σχολής.
Με τα σημερινά δεδομένα η Σχολή με τα αυστηρά κριτήρια επιλογής των μαθητών, το πέπλο μυστηρίου που την τύλιγε, τις διάφορες τελετές μύησης και εξαγνισμού αλλά και τον όρκο που δέσμευε δια βίου τους κατόχους των μυστικών, θα μπορούσε να χαρακτηριστεί σαν μυστική αδελφότητα, κάτι σαν "Στοά".
Η μυστηριακή ατμόσφαιρα που επικρατούσε στη Σχολή δεν πρέπει να μας εκπλήσσει. Ο Πυθαγόρας είχε επηρεαστεί βαθύτατα από τις φιλοσοφικές αντιλήψεις και τις θρησκείες[1] της Ανατολής όπου έζησε μεγάλο μέρος της ζωής του. Εξάλλου πρέπει να συνεκτιμήσουμε το γεγονός ότι στην Ανατολή εκείνη την εποχή ζούσαν ο Λάο Τσε και ο Κομφούκιος στην Κίνα, ο Ζαρατούστρα στην Περσία και ο Βούδας στην Ινδία.
Ίσως και η μετεμψύχωση στην οποία πίστευαν οι Πυθαγόρειοι να οφείλεται σε εξ ανατολών επιρροές. Θεωρούσαν ότι η ψυχή του ανθρώπου μετά τον φυσικό θάνατο κατοικεί μέσα σε ένα ζώο ή μέσα σε ένα φυτό μέχρι να επέλθει η κάθαρση και να ενωθεί με την κοσμική ψυχή.
Σύμφωνα με τις αντιλήψεις του Πυθαγόρα, η ύλη είναι αδύνατον να αποτελεί την αρχή των όντων, αφού ότι είναι υλικό υπόκειται σε φθορά και άρα δεν είναι αιώνιο. Στην προσπάθειά του να βρει μια αναλλοίωτη, άυλη και άφθαρτη αρχή των όντων, αποδέχεται ως τέτοια τους αριθμούς. Οι αριθμοί κατά τον Πυθαγόρα δεν εκφράζουν απλά ποσοτικές σχέσεις της ύλης αλλά αποτελούν την καθοριστική δύναμη του κόσμου στοιχειοθετούν την ουσία και ρυθμίζουν την "τάξη" του Σύμπαντος. Τα αποφθέγματα
α) Τα πάντα αρμονία και αριθμός εστίν,
β) Εν τω αριθμώ πάντα γίγνεσθαι,
γ) Αριθμόν είναι την ουσίαν απάντων,
αποτελούν θεμελιώδη δόγματα της Πυθαγόρειας διδασκαλίας.
Οι αριθμοί ισοδυναμούν με πράγματα, με υλικές ή άυλες οντότητες και έννοιες.[2]

Η μονάδα (1) συμβολίζει το πνεύμα, η δυάδα (2) τις δυο μορφές της ύλης - Γη και Νερό, η τριάδα (3) σχετίζεται με τον χρόνο γιατί εκφράζει τις τρεις διαστάσεις του - παρελθόν, παρόν και μέλλον.
Οι αριθμοί 1, 2, 3, 4 αποτελούν την ιερή τετρακτύν στο όνομα της οποίας έδιναν και τον όρκο[3] οι Πυθαγόρειοι.
Ο αριθμός 4 ήταν ιερός γιατί σχετίζεται με τα 4 σημεία του ορίζοντα, με τις 4 εποχές, γιατί η Μαθηματική επιστήμη χωρίζονταν κατά τους Πυθαγόρειους σε 4 κλάδους, (Αριθμητική, Μουσική, Γεωμετρία και Αστρονομία) γιατί ο 4 είναι ο πρώτος τετράγωνος αριθμός αφού 22 = 4 αλλά κυρίως γιατί 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Το 10 είναι η βάση της δημιουργίας των αριθμών του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης και καθορίζει κατά τους Πυθαγόρειους τη φύση των αριθμών. Ο Αριστοτέλης επιβεβαιώνει ότι θεωρούσαν την δεκάδα τέλεια. Η τελειότητα όμως δεν είναι ανθρώπινη ιδιότητα αλλά θεϊκή, έτσι καθίσταται και η δεκάδα ιερή.
Στο "περί φύσιος" έργο του ο Φιλόλαος ο Κροτωνιάτης αναφέρει ότι "όσα είναι δυνατόν να γνωσθούν έχουν αριθμό, γιατί χωρίς αυτόν τίποτε δεν είναι δυνατόν ούτε να εννοήσουμε ούτε να γνωρίσουμε". (και πάντα γε τα τα γνωσκόμενα αριθμόν έχοντι, ου γαρ οίον τε ουδέν ούτε νοηθήμεν ούτε γνωσθήμεν άνευ τούτου).
Εικοσιδύο αιώνες αργότερα ο Γαλιλαίος θα υποστηρίξει ότι: "το βιβλίο της Φύσης είναι γραμμένο στη Μαθηματική γλώσσα", υπονοώντας ότι οι φυσικοί νόμοι διατυπώνονται με μαθηματικούς όρους και για να μπορέσουμε να αποκρυπτογραφήσουμε τα μυστικά της Φύσης, θα πρέπει να γνωρίζουμε Μαθηματικά [4]
Παρά την πνευματική ελευθερία που επικρατούσε στην "φιλοσοφικότερη" των πόλεων, στον Κρότωνα, για διάφορους κοινωνικούς και πολιτικούς λόγους δημιουργήθηκε ισχυρή αντίδραση εναντίον των Πυθαγορείων κατευθυνόμενη κυρίως από τον αποβληθέντα μαθητή της Σχολής Κύλωνα.
Κατά τις συμπλοκές σκοτώθηκαν αρκετοί μαθητές της Σχολής ενώ ο Πυθαγόρας κατέφυγε στο Μεταπόντιο.
Εκεί κατ' άλλους πέθανε φυσιολογικά, κατ' άλλους δολοφονήθηκε και κατ' άλλους αποσύρθηκε στα ενδότερα ενός ναού όπου παρά την μεγάλη του ηλικία έζησε χωρίς τροφή περισσότερο από ένα μήνα.

Β. Πυθαγόρειο Θεώρημα

Πρόκειται ίσως για την περισσότερο γνωστή μαθηματική πρόταση.
Η διατύπωσή της περιέχεται στο πρώτο βιβλίο των "Στοιχείων" του Ευκλείδη (47η πρόταση) ως εξής:
"Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το από της την ορθήν γωνίαν υποτεινούσης πλευράς τετράγωνον ίσον εστί τοις από των την ορθήν γωνίαν περιεχουσών πλευρών τετραγώνοις".
Δηλαδή στη σύγχρονη γλώσσα: "το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δυο κάθετων πλευρών".
Η διατύπωσή του σε μαθηματική γλώσσα είναι η παρακάτω:
Αν γων. Α = 900
τότε  α2 = β2 + γ2
Ισχύει και το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης, δηλαδή:
"Αν σε ένα τρίγωνο με πλευρές α, β, γ ισχύει α2 = β2 + γ2  τότε η γωνία Α που βρίσκεται απέναντι από την πλευρά α είναι ορθή".
Π.χ. το τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5 είναι ορθογώνιο γιατί 52 = 32 + 42.
Όμοια και το τρίγωνο με πλευρές 5, 12, 13 γιατί 132 = 122 + 52.
Υπάρχουν άπειρες τριάδες τέτοιων αριθμών. Όσες από αυτές τις τριάδες αποτελούνται μόνον ακέραιους αριθμούς λέγονται πυθαγόρειες τριάδες.
Φαίνεται πως αρκετοί αρχαίοι λαοί γνώριζαν εμπειρικά το Πυθαγόρειο Θεώρημα οι δε Αιγύπτιοι το αξιοποιούσαν για την κατασκευή της ορθής γωνίας που ήταν απαραίτητη για να ξαναβρούν τα σύνορα των χωραφιών κάθε φορά που πλημμύριζε ο Νείλος.
Υπάρχει αιγυπτιακή παράσταση στην οποία μια ομάδα ανδρών μεταφέρει ένα μακρύ και χοντρό σκοινί το οποίο έχει σε ίσα διαστήματα κόμβους. Ένα τέτοιο σκοινί χωρισμένο με κόμβους σε 12 ίσα τμήματα είναι κατάλληλο για την δημιουργία τριγώνου με πλευρές 3, 4 και 5 μονάδων (αφού 3 + 4 + 5 = 12), δηλαδή για τη δημιουργία ενός ορθογωνίου τριγώνου. Το σκοινί αυτό λέγονταν αρπεδόνη και αυτοί που το χρησιμοποιούσαν λέγονταν αρπεδονάπτες. Απλουστεύοντας θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι αρπεδονάπτες ήταν οι Αιγύπτιοι τοπογράφοι του 3000 π.Χ.
Στο Πανεπιστήμιο της Columbia υπάρχει η βαβυλωνιακή πινακίδα Plimpton 322 (προς τιμήν του Plimpton που τη δώρισε στο Πανεπιστήμιο) και η οποία χρονολογείται περί το 1800 π.χ. Εικάζεται ότι περιέχει πυθαγόρειες τριάδες. Η σφηνοειδής γραφή, τα τμήματα που ίσως λείπουν αλλά και το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης που χρησιμοποιούσαν οι Βαβυλώνιοι δεν επέτρεψαν ακόμη στους ειδικούς (από ότι γνωρίζω) να απαντήσουν με βεβαιότητα.
Εκείνο που μάλλον είναι βέβαιο, είναι ότι στον Πυθαγόρα επιφυλάχθηκε η τιμή της πρώτης απόδειξης του φερώνυμου Θεωρήματος. (Σήμερα είναι γνωστές πάνω από 400 αποδείξεις)
Σύμφωνα με την παράδοση όταν ο Πυθαγόρας απέδειξε το Θεώρημα αυτό προσέφερε θυσία 100 βοδιών και γι αυτό ονομάστηκε και Θεώρημα της εκατόμβης.
Δεν είναι επίσης απόλυτα βέβαιο ποια απόδειξη έδωσε ο Πυθαγόρας.
Εδώ (για να θυμηθούμε και λίγο τα γυμνασιακά μας χρόνια) θα δώσουμε τρεις αποδείξεις. Υπάρχει μεγάλη πιθανότητα μια από τις δυο πρώτες να οφείλεται στον Πυθαγόρα.

1η Απόδειξη

Θα αποδείξουμε πρώτα μια απλή πρόταση για την καλλίτερη κατανόηση.

Πρόταση:

Θεωρούμε ένα τρίγωνο που έχει βάση ίση με την βάση ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου και ίσο ύψος με το ύψος του ορθογωνίου. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό του ορθογωνίου. (Ισχύει και για τυχαίο παραλληλόγραμμο αλλά δεν ενδιαφέρει εδώ)

Απόδειξη:

Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΕ είναι (ΑΒΓΕ) = βυ.
Το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΖ είναι 1/2.(ΒΓ)(ΖΗ) δηλ. (ΒΓΖ) = ½.β.υ.
Πρακτικά μπορούμε να πούμε: όταν το τρίγωνο έχει ίση βάση με το ορθογώνιο (εδώ η ΒΓ) και η τρίτη κορυφή του τριγώνου (εδώ η Ζ) ανήκει στην ευθεία στην οποία βρίσκεται και η απέναντι της βάσης πλευρά του ορθογωνίου, το εμβαδόν του τριγώνου είναι το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου.
Έστω τώρα το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα την πλευρά ΒΓ = α. Κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΒΓΘΙ με πλευρά α, το τετράγωνο ΑΓΖΗ με πλευρά β και το τετράγωνο ΑΒΔΕ με πλευρά γ.
Από το Α φέρουμε την κάθετη προς την υποτείνουσα ΒΓ που τέμνει την ΒΓ στο Κ και την ΙΘ στο Λ. Σχηματίζονται έτσι δυο ορθογώνια παραλληλόγραμμα, το ΒΙΛΚ και το ΚΛΘΓ.
Το ορθογώνιο ΒΙΛΚ έχει εμβαδόν διπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΙ αφού έχουν την ίδια βάση ΒΙ και η κορυφή Α του τριγώνου ανήκει στην ευθεία ΑΛ που βρίσκεται απέναντι από τη βάση ΒΙ.
Το τετράγωνο ΒΔΕΑ έχει για τον ίδιο λόγο εμβαδόν διπλάσιο από το τρίγωνο ΒΔΓ αφού το τρίγωνο και το τετράγωνο έχουν κοινή την πλευρά ΒΔ και η κορυφή Γ του τριγώνου ανήκει στην ευθεία ΓΕ στην οποία βρίσκεται και η απέναντι πλευρά ΕΑ του τετραγώνου.
Αλλά τα τρίγωνα ΑΒΙ και ΔΒΓ είναι ίσα άρα και ισεμβαδικά. (Είναι ίσα γιατί έχουν δυο πλευρές ίσες και την περιεχόμενη γωνία ίση).
Άρα και το ορθογώνιο ΒΙΛΚ έχει εμβαδόν ίσο με το τετράγωνο ΒΔΕΑ. (1)
Όμοια το ορθογώνιο ΚΛΘΓ είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο ΑΓΖΗ. (2)
(Εδώ γίνεται χρήση των ίσων άρα και ισεμβαδικών τριγώνων ΑΓΘ και ΖΓΒ). Άρα:

(1) Εμβ. ορθογωνίου ΒΙΛΚ: (ΒΙΛΚ) = (ΒΔΕΑ) = γ2 Εμβ. τετραγώνου ΒΔΕΑ
(2) Εμβ. ορθογωνίου ΚΛΘΓ: (ΚΛΘΓ) = (ΑΓΖΗ) = β2  Εμβ. τετραγώνου ΑΓΖΗ
Αθροίζοντας κατά μέλη έχουμε: α2   =   β2 + γ2

2η απόδειξη

Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές α, β και γ και εμβαδόν (Τ) (Σχ. επάνω)
Κατασκευάζουμε δυο ίσα τετράγωνα πλευράς (β + γ) και τοποθετούμε και στα δυο το τρίγωνο από 4 φορές με τον τρόπο που δείχνουν τα σχήματα.
Στο πρώτο τετράγωνο απομένει το λευκό τετράγωνο πλευράς α και εμβαδού α2 ενώ στο δεύτερο τετράγωνο απομένουν τα δυο λευκά τετράγωνα πλευράς το ένα β και το άλλο γ και εμβαδών β2 και γ2  αντίστοιχα.
Το συνολικό εμβαδόν του πρώτου μεγάλου τετραγώνου είναι 4(Τ) + α2.
Το συνολικό εμβαδόν του δευτέρου μεγάλου τετραγώνου είναι 4(Τ) + β2 + γ2.
Αλλά τα εμβαδά των μεγάλων τετραγώνων είναι ίσα. Άρα
4(Τ) + α2 = 4(Τ) + β2 + γ2 άρα και α2 = β2 + γ2.

3η απόδειξη

Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές
ΒΓ = α, ΑΒ = γ και ΑΓ = β. Έστω ακόμη ότι β<γ.
Κατασκευάζουμε τετράγωνο ΒΓΔΕ πλευράς α και τοποθετούμε το τρίγωνο ΑΒΓ μέσα στο τετράγωνο 4 φορές όπως στο σχήμα αριστερά.
Το μέρος που δεν καλύφθηκε από την τοποθέτηση των τριγώνων είναι το σκιασμένο τετράγωνο ΑΘΗΖ με πλευρά ΑΘ = γ - β.
Το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου πλευράς α είναι α2. Το εμβαδόν του κάθε ορθογωνίου τριγώνου είναι (ΑΒΓ) = (ΔΖΓ) = (ΕΗΔ) = (ΒΘΕ) = ½.βγ και το εμβαδόν του σκιασμένου τετραγώνου είναι:
(ΑΘΗΖ) = (γ – β)2 = γ2 – 2βγ +β2
Αλλά τότε α2 = 4. ½.βγ + γ2 – 2βγ +β2, άρα α2 = β2 + γ2.

[1] Παρατηρείται συχνά το φαινόμενο άνθρωποι ιδιαίτερης ευφυΐας να διακατέχονται από τάσεις μυστικισμού, αναχωρητισμού, ενδοσκόπησης, και έντονη θρησκευτικότητα. Χαρακτηριστικές περιπτώσεις στη νεότερη ιστορία είναι ο Newton και o Adam Smith (είναι γνωστή η "αόρατος χειρ" που ρυθμίζει τα της ανθρώπινης κοινωνίας επ' ωφελεία των ανθρώπων).
[2] Η άποψη αυτή θυμίζει κάπως τις "ιδέες" του Πλάτωνα.
[3] Ού, μα τον αμετέρα γενεά παραδόντα τετρακτύν, παγάν αενάου φύσεως ριζώματ' έχουσαν.
[4] Επηρεασμένοι από αυτές τις απόψεις κάποιοι μεταγενέστεροι θα ασπαστούν και θα υποστηρίξουν την άποψη - δόγμα
"Ό,τι δεν μπορεί να διατυπωθεί σε μαθηματική γλώσσα είναι σαν να μην υπάρχει". Θα δημιουργήσουν μάλιστα και "σχολή".
Ο παραπάνω ισχυρισμός παρά την αρχική εντύπωση που προκαλεί, έχει ένα αδύνατο σημείο το οποίο αποτελεί και το σπέρμα της αμφισβήτησής του. Ότι δεν είναι διατυπωμένος και δεν μπορεί να διατυπωθεί σε μαθηματική γλώσσα, άρα είναι σαν να μην υπάρχει!

Εικόνες: